الجديد الحفار (مسلسل) قصة المسلسل - شجرة اللبان أماكن نمو الشجرة - هاتف و معلومات عن مطعم الفروج الطازج بالمدينة المنورة - أنسجة نباتية الأنسجة المولدة - هواتف مكتب الضمان الاجتماعى برابغ ومعلومات عنها بالسعودية - إدارة نظم المعلومات للقوات المسلحة (مصر) مهام الإدارة - نظرية التقدير عملية التقدير - ارقام تلفونات مخافر الكويت والمراكز الامنية - عقيل المقطري مولده - نسيج عظمي يختلف النسيج العظمى عن العظام نفسها - معربات فارسية التعريب عند القدامى - قاعدة هوكل - ولاية عين تموشنت بلديات الولاية - مكافآت طلاب مدارس تحفيظ القرآن الكريم بالمملكة العربية السعودية - ديازيبام الاستخدامات الطبية Diazepam - .. تعليمات .. تحذيرات .. تأثيرات جانبية - قائمة أعلام فرنسيون الممثلون والممثلات - زخرفة رومانية نظرة تاريخية - ثماني أضلاع ثماني منتظم (مثمن) - هاتف وعنوان مركز بن فاضل لبيع الأجهزة الكهربائية - تبوك - مبدأ التعاقب الطبقي - ألعاب البحر الأبيض المتوسط 1987 شعار الدورة - أرطأة بن سهية المري منزلته في الشعر - هواتف مؤسسة سكاي العربيه للمقاولات ومعلومات عنها بالسعودية - نظام أصهري رسم بياني للأطوار - هاتف وعنوان عطارة بن منقاش للأعشاب - السويدي, الرياض - الإفرازات المهبلية الشفافة وعلاقتها بالتبويض - [ رقم هاتف ] مستوصف البركة - محايل, عسير - ملف شامل عن مرض الكبسة العصعصية - سور القران لكل شهر من شهور الحمل - [بحث جاهز للطباعة] طرائق التدريس - - قاعدة سمبسون استنتاج القاعدة - لورنز كروبفيتش - ليلى الأحيدب - شروط نقل ملكية المؤسسات بالتنازل أو البيع بالسعودية - ناهد الشيخ - تحت السقف (فيلم) بطولة وتمثيل - فيلباميت آلية العمل - نبوءة نفرتي النص - منصف الورغي عمله - أخي أصبح عنيفا ويتصرف تصرفات غريبة فهل هو مصاب باضطراب نفسي؟ - علاج الجلطة الدماغية و الشلل النصفي - سكس أون ذا بيتش - عدد السعرات الحرارية في الكباب والطاقة والقيمة الغذائية - هاتف وعنوان مستشفى محايل الأهلي - محايل, عسير - معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة - طريقة تحضير كيك بدون بيض وصفة عجيبة بطريقة سهلة - كيف نصنع الجبن الموزريلا ؟ - هاتف وعنوان مطعم كتيكت - الصفا, جدة - هواتف مكتب غازي للاستشارات الهندسية ومعلومات عنه بالسعودية - كيف يسحب خيط السيتون الخاص بعملية الناسور؟ - كلمات - انت روحي - حمود السمه - الغدة الدرقية : أعراض أسباب وعلاج - كورتني لي فرق لعب لها - قائمة حلقات ناروتو شيبودن (الموسم الأول) أحداث الموسم - الرحبيين (القلعيين) أصل القبيلة و تاريخها - اضطراب الهوية الجنسية الترانس سكس - سوفوكليس أهم أعماله - هل خروج السائل المنوي على شكل كتل وببطء يعيق الإنجاب؟ - نوف طلال نبذه - ماريا مرسيدس (مسلسل) القـــــصــــــة - [بحث جاهز للطباعة] الإعلام الإسلامي - - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج التهاب الحنجره التهاب الحلق بالاعشاب - قيس وليلى (فيلم) فيلم قيس وليلى - جوبة كلخ - [بحث جاهز للطباعة] بحوث تربوية - - والدي يشعر بالخوف وأنه مراقب... فهل من علاج؟ - إدارة الإشارة بالقوات المسلحة (مصر) مديري الإدارة - التسويق عبر شبكات التواصل الاجتماعي منصات التواصل الاجتماعي - العشق والدم (فيلم) قصة الفيلم - طبوغرافيا مساحة وقياس طرق تعيين الشمال - هواتف شركة فهد سليمان الفوزاني وشركاه للمقاولات المحدودة ومعلومات عنها بالسعودية - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع تصنيع المخللات - فاني هيل - مضمن بصري التضمين البصري باستخدام أشباه الموصلات النانوية - هاتف وعنوان مصنع الخير لشبك الأسوار والأسلاك الشائكة - النزله, جدة - نظرية القرار حالات اتخاذ القرار - شفط حليب (لبن) ثدي الام - الدهنيات في الدم، طريقة اجراء الفحص وتحليل النتائج - وادي الذئاب 10 (مسلسل) العرض - عبد الخالق الجنبي مؤلفاته - بيت جدي (مسلسل) أبطال المسلسل - كلية الحرس السلطاني العماني التقنية - دائرة المخابرات العامة (الأردن) الشعار ودلالاته - مصادم الهدرونات الكبير الغرض منه - هاتف وعنوان ثلاجة الشربتلي - البريد, الدمام - ظاهرة الثأر تعريف الثأر - حقل كهربائي خط المجال الكهربائي - هواتف مستشفى فيفاء و معلومات عنها فى بجــــــازان بالسعودية - طب الطوارئ مجالات طب الطوارئ - مخطط الجسم الحر كيفية رسم المخطط - لهجة جنوبية لهجة منطقة عسير - هاتف مركز الرفايع بالجمش الصحي بالرياض و معلومات عنه بالسعودية - جامعة الرازي (السودان) كليات - نظرية فيثاغورس المبرهنة - خليفة خليفوه أعماله - فيبي في بلاد العجائب قصة الفيلم - هاتف وعنوان مستشفى الملك فهد - ابو عريش, جازان - روبوكار بولي روابط خارجية - أعراض السرطان المبكرة لدى النساء! - عزلة الابارة (ريمة) مراجع وروابط خارجية -
آخر المشاهدات محمد جبولي - حياتي عذاب (مسلسل) الـقـــصـــــة - طريقة عمل مخلل الخيار المقرمش من حلقات برنامج منال العالم - الشلخان نسبها - هواتف مؤسسة صالح العبد الله المهنا للتجارة والمقاولات ومعلومات عنها بالسعودية - رابونزل (فيلم) أداء الأصوات - سوق العصر (مسلسل) الممثلين - أستخدم عقار سيبرام وتوقفت عنه فجأه فأحسست بالكهرباء عند الحركة؟ - خاندان سلطان حياتها - [طب بديل ] علاج ضعف الانتصاب بالاعشاب الطبيعية والعسل - مواضيع صحية - لغة طارقية (تماشق) أصل اللغة الطارقية ( تماشق ) - نصائح غذائية للمصابين بقرحة المعدة - كلمات - انت روحي - حمود السمه - هاتف وعنوان شركة الكحيمي للصناعات المعدنية المحدودة - العليا, مدينة الرياض - معجم دورلاند الطبي قائمة منتجات مجموعة < >دورلاند (في الماضي والحاضر) - سهام بن زاموش - طريقة عمل ومقادير أكلة الحبوب الشامية من مطبخ منال العالم - [بحث] بطاقة قراءة لكتاب الدكتور فاروق أبوزيد بعنوان مدخل الى علم الصحافة - ملخصات وتقارير - بعد تركيب اللولب تنزل مني إفرازات بنية ودم يشبه الدورة بعد كل جماع - تي-باغ حياته قبل السجن - [ رقم هاتف ] وعنوان محل قلعة الصخور للأحجار الكريمة - الصفا, جدة - الحدباء (مسلسل) - تركيب اللولب...هل يتم قبل أو بعد تضييق المهبل؟ - تسريب تحت الجلد - هاتف وعنوان ثلاجة الشاهين للمواد الغذائية - النزله, جدة - قسمة ونصيب (برنامج تلفزيوني) فكرة البرنامج - الحمى المالطيه Brucillosis مرض معدى يتميز بارتفاع في درجة الحرارة - يوتوبيا (مسلسل بريطاني) القصة - شبيطة مختار الموقع الجغرافي - قاعدة زايتسيف - نظرية المجال البلوري نظرة عامة - لهجة زهرانية الكلمة ومعناها باللهجه الزهرانية - نيورين أقراص لعلاج التهابات الجيوب الانفية Neorin Tablets - نايت كالم أقراص لعلاج الأرق ومشاكل النوم Night Calm Tablets - شروط نقل ملكية المؤسسات بالتنازل أو البيع بالسعودية - عائلة قرقيعان (مسرحية) طاقم التمثيل - شاهد على العصر بعض ضيوف البرنامج - طريقة عمل براونيز ليلى من الشيف ليلى فتح الله - لزوجة اللزوجة الحركية للسائل - علوم شرعية أقسام العلوم الشرعية - تينتو براس حياته - ستيكرات واتساب مميزة - بطارية هايبريون الذرية تصميم المعدل - لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة - كيف أواجه الوسواس والتوتر والخوف والضيق؟ - هاتف وعنوان مستوصف الكرامة الأهلي - النسيم, مدينة الرياض - هاتف وعنوان مستوصف البحيري الطبي - السلامه, جدة - متعان نسبها - لهجة حجازية اللهجة البدوية - علم الاختلاج قائمة بالإختلاجات - الطمحة (قبيلة) نسبهم - [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج نظم معلومات , مشروع تخرج شبكات - - علم الخلاص - طريقة عمل صينية الكوسا بالفرن من مطبخ الشيف منال العالم - ورد النووي صحة نسبة الورد للإمام النووي - هاتف وعنوان مستوصف العروبة الطبي - الشفا, مدينة الرياض - [بحث جاهز للطباعة] طرائق التدريس - - فايف قايز التاريخ - الشـروط العامة لتصديق الشـهادات الدراسيـة من القنصلية السعودية فى الاسكندرية - اسباب وجود ماء خلف الرحم - هل حبس السائل المنوي يؤثر على الخصية والدوالي؟ - هاتف وعنوان مستوصف الأقصى- الرونه, عسير - هلكوت زاهر نبذة عن حياته - بيديه كيفية الإستخدام-بيديه (يسار) إلى جانب المرحاض. - هاتف وعنوان مستشفى الوفاء - عنيزه, القصيم - دراسة جدوى مفصلة لمشروع منحل لانتاج عسل نحل - دكتور تجميل الانف بجدة الدكتور لطفي الدقر - يوسف بوغابة التكوين العلمي والشهادات - هل خروج فقاعات هواء من فتحة الشرج ينقض الوضوء؟ - مايا صبحي عن حياتها - طريقة تحضير برياني الدجاج مع الروب - طبق هندي بطريقة سهلة - طريقة عمل فول البغل بطعم لذيذ لا تفوتكم - هاتف وعنوان مطعم وضاح - السويدي, مدينة الرياض - فيصل الجميلي نسبه - هاتف وعنوان مطعم السحباني - الصفا, جدة - إدوج فينش - روضة (البقاع الغربي) - الحناكيش (فيلم) ملخص الفيلم - نايف فايز عن حياته - تحليل السلوك التطبيقي تعريف - هاتف وعنوان مستوصف النخيل - رابغ, جدة - جوايفينيزين شراب طارد للبلغم ومضاد للسعال Guaifenesin Syrup - برنارد فيربير رواياته - معركة عين الغزالة الخلفية التاريخية - نسيج عظمي يختلف النسيج العظمى عن العظام نفسها - لانثانيدات الخواص الكيميائية - دمتم سالمين (مسلسل) الشخصيات - ناقل الغلوكوز الوظيفة - ميزانية و تكاليف ودراسة جدوى مشروع إنتاج صلصلة الطماطم والكاتشب - بيت هديان (الرجم) مراجع وروابط خارجية - اتفاقية أديس أبابا إعلان 9 1969 - فيتوكيميكال الفيتوكيميكال كمواد غذائية - حديث الصباح والمساء (مسلسل) - ريفاروكسيبان تأثيرات جانبية - تكنولوجيا المعلومات وتحليل البيانات الضخمة في الصناعة الملخص - كلية العلوم التربوية والاداب (الأونروا) التخصصات - هواتف مكتب الضمان الاجتماعى النسوي بمكة ومعلومات عنها بالسعودية - هاتف وعنوان مطعم الطيب - الرويس, جدة - سيليكوكسيب الأسماء التجارية - [ رقم هاتف ] إدارة شؤون المتقاعدين بالسعودية و معلومات عنها - طبعة فايمار لأعمال مارتن لوثر - [بحث جاهز للطباعة] بحث كامل عن الغزل في الشعر العربي ، الغزل في الشعر العربي عصوره، وتطوره - - الفلاح الفصيح ملخص القصة - هاتف وعنوان شركة الربيع السعودية للأغذية - النزله, جدة - إريك آش المهنة القتالية - هاتف وعنوان وكالة زهرة ميسان للدعاية والإعلان - العليا, مدينة الرياض - تحليل عقدي للدارات الكهربائية طريقة الحل - معقد التوافق النسيجي الكبير وظيفة جزيئات MHC - هاتف وعنوان مستشفى العبيد - المبرز, الاحساء - هاتف وعنوان مجمع عيادات د/ جميل خطاب - الهفوف, الاحساء - خدمة استخراج الشهادات الصحية بالمملكة العربية السعودية - قبيلة العبريين نبذة عن القبيلة - أعاني من ظهور حبوب على الشفرتين الصغيرتين للمهبل مثل الفقاعات الجلدية ، شفافة متراصة، وأيضا - مستشفى الدمام المركزي مجمع الدمام الطبي - أميبريد أقراص لعلاج الهلاوس السمعية والبصرية وأعراض الفصام Amipride Tablets - وصفة هائلة من الطب البديل لعلاج الالتهاب الكيسي والأوتار بالاعشاب - حراس المعبد (وادي الذئاب) التسمية - عزلة سبلة بني بخيت (ذمار) مراجع وروابط خارجية - بوتيفار منصب عزيز مصر - طريقة عمل حلى التويكس بطريقة سهلة - قائمة الشركات الصيدلانية بالترتيب الأبجدي - قبيلة الصلبه نسب القبيلة وافخاد القبيلة - طريقة عمل البراونيز من الشيف مي يعقوبي - متلازمة إيليس-فان كريفيلد الأعراض - طريقة عمل وصفة الكراوية من منال العالم - متلازمة فاكترل الانتشار - “الغذاء والدواء” تحذّر من بيع وتداول كافة أنواع التبغ غير المدخن - سور القران لكل شهر من شهور الحمل - هاتف وعنوان مستوصف اكسير الدولي - البطحاء, مدينة الرياض - لغة التجميع المفاهيم الرئيسية - لحزام ولد المعيوف - ليندا لوفليس النشأة - تاريخ المسيحيون العرب في الجاهلية - بطنج أسماؤه واستعمالاته - جهاز الجيبة الفغرية الرقائق والصفائح القاعدية - دموع الورد (مسلسل) قصة المسلسل - [بحث جاهز للطباعة] الإعلام الإسلامي - - [بحث] تعلن أمانة منطقة الحدود الشمالية للمتقدمين بطلبات منح سكنية من ذوي الاحتياجات الخاصة وهم؟؟ - ملخصات وتقارير - سبازموتالين أقراص لعلاج التهابات القولون Spasmotalin Tablets - هاتف وعنوان مستوصف السلامة الطبي الأهلي - الطائف وج, الطائف - محمود نديم باشا مسألة الإصلاحات - هارون بن مشعل مسيرته - حارة اليهود (مسلسل) طاقم العمل - طريقة عمل رنجينة الرطب - قبيلة أسلم نسب القبيلة - سويز بيتز حياته الشخصية - هل وضعية الدوجي ستايل في فتحة المهبل أو فتحة الشرج - مديح الحمق ملخص - جذام (قبيلة) نسب جذام - مزايا وعيوب الشركات ذات المسئولية المحدودة وهل تصلح للمشروعات الصغيرة - نجاشي - هاتف وعنوان بيت الأنصاري للمفروشات - السلامه, جدة - بابندريخت طوبوغرافيا - طائر الليفر التاريخ - هاتف وعنوان مستوصف السلام - عنيزه, القصيم - كسر (رياضيات) أنواع الكسور - الولع بالبراز الأماكن والتواجد - دراسة جدوى مفصلة لمشروع إنتاج مسحوق الطماطم - محمد جار الله السهلي حياته - غامد نسب قبيلة غامد - هاتف وعنوان مشغل بنت النور للخياطة النسائية - الفيصليه, نجران - دوام التفكير في الجنس سبب لي احتقان البروستاتا - هاتف وعنوان عيادة الدكتور محمد البواردي - المرسلات, الرياض - معلومات هامة عن سلالة دجاج الفيومى - تفريت ناث الحاج الجغرافيا - المحقق كونان (الموسم 1) عناوين الحلقات - أرقام الهاتف في تونس ترقيم الهاتف القار - هاتف وعنوان مشغل قطرة ندى للسيدات - العليا, مدينة الرياض - هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟ - الدوري المصري الممتاز 1995–96 الأندية المشاركة - أكبر مؤسسات إعلانية بالعالم مجموعة WPP البريطانية - أعاني منذ فترة من انتفاخات وتقلصات وخروج غازات القولون مما يحرجنى دائما وكذلك اصوات البطن ( زغورة - طريقة عمل خبز الصاج - مستذئبو تيارسوليو وصف - جنكوفيت كبسولات مكمل غذائى لتحسين الدورة الدموية Ginkofit Capsules - قائمة حلقات هجوم العمالقة قائمة الحلقات - هاتف وعنوان مستوصف النصر الطبي - سكاكا, الجوف - ايهما افضل تربية الدجاج في البطاريات ام على الارض مقارنة هامة - طريقة عمل البط المشوي المتبل بالثوم و البابريكا - قائمة شخصيات هاري بوتر الشخصيات الرئيسية - أفضل طريقة للدراسة - بدل فاقد (فيلم) قصة الفيلم - كتيب ميرك - فيزا عمل للسعودية ,, شروط واجراءات استخراجها - علاج ضعف الانتصاب - بيت هديان (خيران المحرق) المحلات التابعة للقرية - طريقة اعداد القهوة البيضانية اليمنية خطوة بخطوة - محمية مجامع الهضب - هاتف مركز الشماسية الصحي بالقصيم و معلومات عنه بالسعودية - ورق كرتون استخدامات الكرتون - سولوبريد أورو أقراص لعلاج الامراض الروماتيزمية Solupred Oro Tablets - لمقصود بوجود كيس ماء أو أكياس الماء في الأذن الوسطى عند الأطفال - تعالجت من جرثومة المعدة، وشفيت، ويبدو أنها عادت! أفيدوني. - هاتف وعنوان مستوصف البرج - خميس مشيط, عسير - برنقيل أنواعه - متلازمة قرحة المستقيم الانفرادية أسباب المرض - كلية ابن سينا >>> رسوم الكلية - طلائعيات تقسيم الطلائعيات - هاتف وعنوان مطعم بلاد الشام - مشرفه, جدة - هاتف وعنوان مؤسسة ناصر محمد الزهراني - السويدي, مدينة الرياض -
اليوم: السبت 19 سبتمبر 2020 , الساعة: 2:23 ص


اعلانات

محرك البحث


تكامل متعدد مقدمة

آخر تحديث منذ 1 يوم و 22 ساعة 1361 مشاهدة

اعلانات

عزيزي زائر الموقع تم إعداد وإختيار هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 17/09/2020

مقدمة



كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f (x,y),) والمستوى المحتوي المجال لمجاله . (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة < >f(x,y,z) 1, فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.



التكامل المتعدد لدالة f المعرفة في n متغير f(x_1,x_2,ldots,x_n), على مجال D يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية


int ldots mathbf D f(x_1,x_2,ldots,x_n) mathbf d x_1!ldotsmathbf d x_n

وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.


التعريف الرياضي


افترض ان n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة لل مستوى n 2, والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.

T (a_1,b_1) imes (a_2,b_2) imescdots imes (a_n,b_n)subset mathbb R^n

قم بتقسيم كل فترة (< >ai,bi) إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز < >Ii.عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة


C I_1 imes I_2 imes cdots imes I_n

هي جزئية من T بمعنى أن المستطيلات الجزئية C هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T.

بعد أي من المستطيلات الجزئية C هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من T معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.


افترض أن f T →R هي دالة معرفة على المستطيل T. اعتبر التجزيئ التالي


T C_1cup C_2 cup cdots cup C_m

من T المعرفة آنفاً. حيث m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة



sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

حيث، لكل k فان النقطة P_k تقع في النفطة C_k، و m(C_k) هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو C_k


في هذه الحالة تسمى دالة f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية



S lim_ delta o 0 sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T ذات البعد delta. إذا امكن تكامل f بريمان فان S تسمى تكامل ريمان ل f على T ويكتب



int_T !f(x),dx.

تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.


ما يلي تكامل ريمان في n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا



الخصائص


التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة < >D âٹ† R< >n ودالة قابلة للتكامل < >f على < >D، القيمة المتوسطة ل < >f على مجالها يعطى بـ


ar f frac 1 m(D) int_D f(x), dx,

حيث (< >m(< >D هو نظرية القياس مقياس < >D



حالات خاصة


في حالة < >T âٹ† R2، فإن تكامل


ell iint_T f(x,y), dx, dy

هو تكامل ثنائي ل < >f على < >T. وإذا كانت < >T âٹ† R3 فان تكامل



ell iiint_T f(x,y,z), dx, dy, dz


يكون تكامل ثلاثي ل < >f على < >T.


لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)


طرق للتكامل


حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.


الحل المباشر


أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل


الدوال الثابتة


في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة < >c. إذا كانت < >c 1 وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3


  • مثلاً



  • D (x,y) in mathbb R ^2 2 le x le 4 3 le y le 6 and f(x,y) 2,!




    لنكامل < >f على < >D بالنسبة ل < >x أولا




    int_3^6 int_2^4 2 dx, dy mbox area (D) cdot 2 (2 cdot 3) cdot 2 12.




    الحل باستخدام التماثل


    إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).



    من الكافي –في الدوال على R< >n – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.



  • مثال (1)


  • خذ < >f(< >x,  < >y) 2  sin   < >x  −  3< >y3  +  5




    و< >T < >x2  +  < >y2  ≤  1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر   1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط ).



    مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء




    iint_T (2sin x - 3y^3 + 5) , dx , dy iint_T 2 sin x , dx , dy - iint_T 3y^3 , dx , dy + iint_T 5 , dx , dy





    2   sin   < >x' و 3y< >3 كلاهما دالة فردية دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T< > متماثل حول محور x< > وكذلك محور y< >؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.





  • مثال (2)

  • خد الدالة (f< >(x< >,  y< >,  z< >) x< >  exp(y< >2  +  z< >2


    ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T< > x< >2  +  y< >2  +  z< >2  ≤  4.


    الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x< > فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x< >.



    صيغ الاختزال


    صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي ).


    المجالات البسيطة على R2


    محور x




    اذا كان < >D مجال مقيس عمودي على محور < >x و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة ؛ فإن (خ±(< >x و(خ²(< >x (بالتعريف في الفترة [< >a,  < >b]) هما دالتين اللتين تحددان < >D. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dx int_ alpha (x) ^ eta (x) f(x,y), dy.



    محور < >y




    اذا كان D< > مجال مقيس عمودي على محور y< > و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة؛ فإن(خ±(y< > و(خ²(y< > (بالتعريف في الفترة [a< >,  b< >]) هما دالتين اللتين تحددان D< >. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dy int_ alpha (y) ^ eta (y) f(x,y), dx.



    مثال


    Es pio-formulediriduzione-r2.svg 160 مثال D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال


    اعتبر أن المنطقة D (x,y) x ge 0, y le 1, y ge x^2 (انظر الشكل المقابل). احسب
    iint_D (x+y) , dx , dy.

    هذا المجال عمودي على كلا المحورين x< >و y< >. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.



    في هذه الحالدة الدالتين هما


    alpha (x) x^2 ext and eta (x) 1,!


    بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x< >    0، عليه فان الفترة هي [a< >,  b< >] [0,  1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x< > لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة




    iint_D (x+y) , dx , dy int_0^1 dx int_ x^2 ^1 (x+y) , dy int_0^1 dx [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2





    (في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x< > ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة




    int_0^1 [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2 , dx int_0^1 (x + frac 1 2 - x^3 - frac x^4 2
    ight) dx cdots frac 13 20 .





    إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور y< >نقوم بالآتي




    int_0^1 dy int_0^ sqrt y (x+y) , dx.





    وسنحصل على نفس النتيجة



    Dominio-normalità r3 es pio.svg 160 مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy< >



    المجالات البسيطة على R3


    امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما

    T< > هو مجال عمودي على المستوى xy< > باعتبار الدوال (خ± (x< >,y< > و(خ²(x< >,y< >، إذن




    iiint_T f(x,y,z) dx, dy, dz iint_D dx, dy int_ alpha (x,y) ^ eta (x,y) f(x,y,z) , dz



    تغيير المتغيرات


    حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ تغيير المتغيرات لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.



    مثال (1-أ)




    الدالة هي f(x, y) (x-1)^2 +sqrt y

    إذا تبنينا هذا البديل x' x-1, y' y , ! لذلك x x' + 1, y y' ,!

    نحصل على الدالة الجديدة f_2(x,y) (x')^2 +sqrt y.





    • وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x< > ,y< > في المثال).

    • التفاضلات(d(x< >و (d(y< > يتم تحويلها عبر محددة مصفوفة جاكوبي المصفوفة الجاكوبية


    المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).


    توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.



    الإحداثيات القطبية


    Passaggio in coordinate polari.svg 270 التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

    في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات معينة يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية(انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية(P(x,y< > في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.




    العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية


    f(x,y)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi).





    مثال (2-أ)



    الدالة هي f(x,y) x + y,!

    وبتطبيق التحويل نحصل على


    f(
    ho, phi)
    ho cos phi +
    ho sin phi
    ho (cos phi + sin phi).





    مثال (2-ب)



    الدالة هي f(x,y) x^2 + y^2,!

    في هذه الحالة لدينا


    f(
    ho, phi)
    ho^2 (cos^2 phi + sin^2 phi)
    ho^2,!





    باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات دپو د† ابتداءً من x< > وy< >





    Es pio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg 230 مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.




    مثال (2-ج)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 4,! وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة, إذن د† تتراوح بين 0 و 2د€, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2




    مثال (2-د)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, y ge 0 وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y< > (أنظر الشكل)، لاحظ ان د† تصف زاوية مستوى، بينما دپ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي







    T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi . ,




    المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي


    frac partial (x,y) partial (
    ho, phi)


    egin vmatrix

    cos phi & -
    ho sin phi \

    sin phi &
    ho cos phi

    end vmatrix
    ho



    والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل(x< > دپ cos(د† و(y< > دپ sin(د† في العمود الأول باعتبار دپ، وفي العمود الثاني باعتبار د†، لذا فإن التفاضلات dx  dy< > في هذا التحويل تصبح دپ d< >دپ d< >د†.



    ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية



    iint_D f(x,y) dx, dy iint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi)
    ho , d
    ho, d phi.



    لاحظ أن د† صالحة في الفترة [0, 2د€] بينما دپ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.



    مثال (2-هـ)




    الدالة هي ƒ< >(x< >,  y< >) x< > والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).



    من التحليل السابق ل D< > نعلم فترة دپ (بين 2 و 3) وفترة د† (بين 0 و 2د€).إذن لنقم بتغيير الدالة







    f(x,y) x longrightarrow f(
    ho,phi)
    ho cos phi.,





    أخيراً، لنطبق صيغ التكامل





    iint_D x , dx, dy iint_T
    ho cos phi
    ho , d
    ho, dphi.





    بتعريف الفترة يصبح لدينا





    int_0^pi int_2^3
    ho^2 cos phi d
    ho d phi int_0^pi cos phi d phi [ frac
    ho^3 3
    ight]_2^3 [ sin phi
    ight]_0^pi (9 - frac 8 3
    ight) 0.




    الإحداثيات الأسطوانية


    Cylindrical inates.svg 190 الإحداثيات الأسطوانية.

    في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في نظام إحداثي أسطواني الإحداثيات الأسطوانية ؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية


    f(x,y,z)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)

    يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.


    مثال(3-أ)



    المنطقة هي D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, 0 le z le 5 (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi, 0 le z le 5 (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).



    ولأن العنصر z< > لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz< > تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون دپ dدپ dد† dz< >.



    أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية



    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho , d
    ho, dphi, dz.



    هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z< >، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.



    مثال(3-ب)



    الدالة هي f(x,y,z) x^2 + y^2 + z,!، ومجال التكامل هو هذه أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة D x^2 + y^2 le 9, -5 le z le 5




    تحويل D< > في إحداثيات أسطوانية هو الآتي







    T 0 le
    ho le 3, 0 le phi le 2 pi, -5 le z le 5 .





    بينما تصبح الدالة





    f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho^2 + z,!





    أخيراً، نطبق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z) , dx, dy, dz iiint_T (
    ho^2 + z)
    ho , d
    ho, dphi, dz





    بتعديل الصيغة نحصل على





    int_ -5 ^5 dz int_0^ 2 pi dphi int_0^3 (
    ho^3 +
    ho z), d
    ho 2 pi int_ -5 ^5 [ frac
    ho^4 4 + frac
    ho^2 z 2
    ight]_0^3 , dz






    2 pi int_ -5 ^5 (frac 81 4 + frac 9 2 z
    ight), dz cdots 405 pi.




    الإحداثيات الكروية


    Spherical inates (Colatitude, Longitude).svg 190 الإحداثيات الكروية.

    بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في نظام إحداثي كروي إحداثيات كروية < >، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة



    f(x,y,z) longrightarrow f(
    ho cos heta sin phi,
    ho sin heta sin phi,
    ho cos phi),!

    لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x< > لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح phi< > بين 0 ود€.



    من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.


    مثال (4-أ)


    خذ المجال D x^2 + y^2 + z^2 le 16 (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة T 0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi .

    محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية




    frac partial (x,y,z) partial (
    ho, heta, phi)



    egin vmatrix

    cos heta sin phi & -
    ho sin heta sin phi &
    ho cos heta cos phi \

    sin heta sin phi &
    ho cos heta sin phi &
    ho sin heta cos phi \

    cos phi & 0 & -
    ho sin phi

    end vmatrix
    ho^2 sin phi




    المشتقات dx dy dz< > تتحول إلى دپ2 sin(د†) d< >دپ d< >خ¸ d< >د†.






    أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية





    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2 sin phi , d
    ho, d heta, dphi.





    يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).





    مثال (4-ب)



    D< > هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) وf(x,y,z) x^2 + y^2 + z^2,! هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.






    تحويلها سهل جدا





    f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2,,





    بينمانعرف فترة المنطقة T< > الناتجة عن تحويل D< >







    (0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi).,





    نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z^2) , dx, dy, dz iiint_T
    ho^2
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi,





    وبالتبسيط نحصل على





    iiint_T
    ho^4 sin heta , d
    ho, d heta, dphi int_0^ pi sin phi ,dphi int_0^4
    ho^4 d
    ho int_0^ 2 pi d heta 2 pi int_0^ pi sin phi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 , d phi






    2 pi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 [- cos phi
    ight]_0^ pi 4 pi cdot frac 1024 5 frac 4096 pi 5 .




    مثال (4-جـ)



    المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a< > (D x^2 + y^2 + z^2 le 9a^2 ,!) وf(x,y,z) x^2 + y^2,! هي دالة المراد مكاملتها.






    بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T< > هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, 0 le heta le pi.,





    ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على





    f(x,y,z) x^2 + y^2 longrightarrow
    ho^2 sin^2 heta cos^2 phi +
    ho^2 sin^2 heta sin^2 phi
    ho^2 sin^2 heta.





    بتطبيق صيغة التكامل نحصل على





    iiint_T
    ho^2 sin^2 heta
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi iiint_T
    ho^4 sin^3 heta , d
    ho, d heta, dphi





    والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية ،و تصبح فترات T< > الجديدة هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, - sqrt 9a^2 -
    ho^2 le z le sqrt 9a^2 -
    ho^2





    تم التحصل على الفترة z< > بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D< > (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2< > إلى دپ2< >). الدالة الجديدة تصبح أذن دپ2< >. بتطبيق صيغة التكامل







    iiint_T
    ho^2
    ho d
    ho d phi dz.





    نحصل بعدها على





    int_0^ 2 pi dphi int_0^ 3a
    ho^3 d
    ho int_ - sqrt 9a^2 -
    ho^2 ^ sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , dz 2 pi int_0^ 3a 2
    ho^3 sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , d
    ho.





    الآن نطبق التحويل





    9 a^2 -
    ho^2 t,! longrightarrow dt -2
    ho, d
    ho longrightarrow d
    ho frac d t - 2
    ho ,!





    (الفترات الجديدة تصبح 0, 3a longrightarrow 9 a^2, 0). نحصل على





    - 2 pi int_ 9 a^2 ^ 0
    ho^2 sqrt t , dt





    ولأن
    ho^2 9 a^2 - t,!، نحصل على





    -2 pi int_ 9 a^2 ^0 (9 a^2 - t) sqrt t , dt,





    بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.





    2 pi [ int 0^ 9 a^2 9 a^2 sqrt t , dt - int 0^ 9 a^2 t sqrt t , dt
    ight] 2 pi [9 a^2 frac 2 3 t^ frac 3 2 - frac 2 5 t^ frac 5 2
    ight]_0^ 9 a^2






    2 cdot 27 pi a^5 (6 - frac 2 5 ) 54 pi frac 28 5 a^5 frac 1512 pi 5 a^5.





    الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية



    أمثلة


    التكامل الثنائي


    لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f< > خلال منطقة A< >




    A (x,y) in mathbb R ^2 11 le x le 14 7 le y le 10 وf(x,y) x^2 + 4y,!




    لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي



    int_7^ 10 int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx, dy




    يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x< >، يجب اجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy< >. لاحظ أننا في البدء نعتبر y< > ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل .








    egin

    int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx & (frac 1 3 x^3 + 4yx
    ight)Big _ x 11 ^ x 14 \

    & frac 1 3 (14)^3 + 4y(14) - frac 1 3 (11)^3 - 4y(11) \

    & 471 + 12y \

    end



    بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y< >








    egin

    int_ 7 ^ 10 (471 + 12y) dy & (471y + 6y^2)ig _ y 7 ^ y 10 \

    & 471(10) + 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \

    & 1719 \

    end



    الحجوم


    حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين

  • التكامل الثنائي



  • iint_D 5 dx, dy


    للدالة 5 (f< >(x,< >y محسوبة في المنطقة < >D من مستوى < >xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات




    iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz




  • التكامل الثلاثي



  • iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz


    للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.



    حساب الحجوم


    بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام

  • أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر < >R، والدالة ثابتة بالارتفاع < >h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi d phi int_0^R h
    ho d
    ho h 2 pi [frac
    ho^2 2
    ight]_0^R pi R^2 h





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة* الارتفاع pi R^2 cdot h




  • الكرة وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة < >1 في الكرة ذات نفس نصف القطر < >R



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi , d phi int_0^ pi sin heta, d heta int_0^R
    ho^2, d
    ho 2 pi int_0^ pi sin heta frac R^3 3 , d heta frac 2 3 pi R^3 [- cos heta]_0^ pi frac 4 3 pi R^3.



  • رباعي السطوح ( هرم مثلثي ذو 4 وجوه) حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار ،كمثال، ال normality على المستوى < >xy ولمحور < >x ومثل الدالة الثابتة < >1.




  • mathrm Volume int_0^ell dx int_0^ ell-x , dy int_0^ ell-x-y , dz int_0^ell dx int_0^ ell-x (ell - x - y), dy






    int_0^ell (ell^2 - 2ell x + x^2 - frac (ell-x)^2 2 ), dx ell^3 - ell ell^2 + frac ell^3 3 - [frac ell^2 2 - ell x + frac x^2 2
    ight]_0^ell






    frac ell^3 3 - frac ell^3 6 frac ell^3 6





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة * الارتفاع /3 frac ell^2 2 cdot ell/3 frac ell^3 6 .





    Dominio improprio.svg 140 مثال لمجال معتل.


    التكامل المعتل المتعدد


    في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.



    التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع



    حسب نظرية فوبيني Fubini's theorm


    int_ A imes B f(x,y) ,d(x,y) تفاضل تكامل

    Areabetweentwographs.svg التكامل كمساحة بين منحنيين.

    Volume under surface.png التكامل الثنائي كحجم تحت سطح z x^2-y^2. منطقة المستطيل الواقع أسفل الجسم هو مجال التكامل بينما السطح هو بياني الدالة ذات متغيرين التي يتم تكاملها.

    التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل f(x,y), أوf(x,y,z),

    شاركنا رأيك

     
    اعلانات

    التعليقات

    لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

    أقسام الموقع المتنوعة أوجدت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 17/09/2020



    الاكثر مشاهدة في شبكة طريق 95
    الأكثر مشاهدة خلال 24 ساعة
    الأكثر قراءة
    الموضوعات الاكثر مناقشة
    الاكثر مناقشه بالقرب مني
    اعلانات

    غريبة طريقة عمل غريبة دواء سيبرالكس دينامو ديفاكوت استيكان طريقة تنزيل الوزن ديتروبان مي يعقوبي إذاعة مدرسية وزني 39 كوركوم لون عسل التوت العناتي استشارة الطبيب عبارات جميله العبادي وسواس وسواس السرطان وسواس المرض سيبراكس التهاب البروستات فافرين تشيز كيك القسط الهندي Proxeed التهاب الكلي الأضطرابات اوكريلزوماب Tranxene سعر دواء ختان فرعوني نيكلوزاميد ابليفاي وزن تينافيرون ابيجين Wb2200f الفلافل ظن وأخواتها ايتروجستان روماتويد كالوري سيروكويل جيك جيلنهال الحكير الدكتور شامل المصادر أشكنان الاسماء التجارية انداباميد سوالب سلطنة الحريم السلطانة خرم بن حم سيروكسات المحويت ودع تكبيرات العيد السلطي نوت 9 كلية الأسترالية ال الشماخ خبان الساحرة المحمل المتحدين متحدون الضاحكة الضحى اللائحة المحروسة الساحة الصحافة المحترف الساحل المحذوفة المحقن المسحب المصافحة المطحون الحظيرة التحرير الوقاحة الطاحون المتحد الحاسمة الحبتين الحقنا سليمان كراداغ الشيبي لورا خليل النبيطة الكاشف المودم الشامبو البنفسجي الخوف من الامتحانات بدون دم مكثف